当前位置: 首页 > >

可测函数

可测函数是可测空间之间的保持(可测集合)结构的函数,也是勒贝格积分或实分析中主要讨论的函数。

数学分析中的不可测函数一般视为病态的。

设f是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数,集E[f>a]恒可测(勒贝格可测),则称f是定义在 E上的(勒贝格)可测函数。 

定理 设f是定义在可测集E上的实函数,下列任一个条件都是在E上(勒贝格)可测的充要条件:

(1) 对任何有限实数a,E[f>=a]都可测;

(2) 对任何有限实数a,E[f<a]都可测;

(3) 对任何有限实数a,E[f=<a]都可测;

(4) 对任何有限实数a,b,E[a=<f<b]都可测。

设(X,F)为一可测空间,E是一个可测集。f: E→R*为定义在E上的函数。若对任意实数a,总有{x∈E: f(x)<a}∈F,则称f为E上的F-可测函数(简称E上的可测函数)。

特别地,若可测空间取为是R上的Lebesgue可测空间。E是R中的Lebesgue可测集。则E上的可测函数成为Lebesgue可测函数。若可测空间取为R上的Borel可测空间,E是R中的Borel集,则E上的可测函数称为Borel可测函数。

如果(X,Σ)和(Y,Τ)是波莱尔空间,则可测函数f又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数,但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而,可测函数几乎是连续函数;参见卢辛定理。

根据定义,随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

(1)两个可测的实函数的和与积也是可测的。 

(2)如果函数f

(3)可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果

(4)可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)

(5)只有可测函数可以进行勒贝格积分。

(6)一个勒贝格可测函数是一个实函数f:RR,使得对于每一个实数a,集合

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不是所有的函数都是可测的。例如,如果A是实数轴



友情链接: 传奇百科网 招聘百科网 非凡百科网 游艇百科网 口红百科网 创业百科网 软木百科网