当前位置: 首页 > >

共轭函数

共轭函数亦称对偶函数、极化函数,函数的某种对偶变换。设f为实线性空间X上的扩充实值函数,X*为X的某个对偶空间,即由X上的一些线性函数所构成的实空间,那么f的共轭函数f*是X*上的扩充实值函数。共轭函数的概念在研究极值问题的对偶理论中起着本质作用。19世纪,法国数学家勒让德首先在力学中引进类似的概念,那是把速度变为动量的变换,对于力学方程来说,这就使得拉格朗日方程变为哈密顿方程。今天,人们就称这样的变换为勒让德变换,勒让德变换的概念实际上出现得比对偶空间或共轭空间的概念还要早,应该说,后一概念的起源之一就是勒让德变换。20世纪50年代,芬切尔又把勒让德变换进一步抽象为共轭函数的概念,因此,今天人们又把函数到其共轭函数的变换称为勒让德-芬切尔变换。 

设函数

图1中,函数

显而易见,

Fenchel不等式

从共轭函数的定义我们可以得到,对任意

以函数

共轭的共轭

上面的例子以及“共轭”的名称都隐含了凸函数的共轭函数的共轭函数是原函数。也即:如果函数f是凸函数且f是闭的(即

可微函数

可微函数f的共轭函数亦称为函数f的Legendre变换。(为了区分一般情况和可微情况下所定义的共轭,一般函数的共轭有时称为Fenchel共轭。) 

设函数f是凸函数且可微,其定义域为

我们亦可以换一个角度理解。任选

伸缩变换和复合仿射变换

若a>0以及b∈R,

独立函数的和

如果函数

考虑R上一些凸函数的共轭函数。 



友情链接: 传奇百科网 招聘百科网 非凡百科网 游艇百科网 口红百科网 创业百科网 软木百科网