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合数(数字分类基础概念)

合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。

合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。 

所有大于2的偶数都是合数。

所有大于5的奇数中,个位为5的都是合数。

除0以外,所有个位为0的自然数都是合数。

所有个位为4,6,8的自然数都是合数。

最小的(偶)合数为4,最小的奇合数为9。

每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积,即分解质因数。(算术基本定理)

对任一大于5的合数(威尔逊定理):

合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数,有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中,亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者,

注意,对于质数,此函数会传回 -1,且

另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一质数的平方数,其因数有

合数可分为奇合数和偶合数,也能基本合数(能被2或3整除的),分阴性合数(6N-1)和阳性合数(6N+1),还能分双因子合数和多因子合数。

只有1和它本身两个因数的自然数,叫质数(或称素数)。(如:由2÷1=2,2÷2=1,可知2的因数只有1和它本身2这两个因数,所以2就是质数。与之相对立的是合数:“除了1和它本身两个因数外,还有其它因数的数,叫合数。”如:4÷1=4,4÷2=2,4÷4=1,很显然,4的因数除了1和它本身4这两个因数以外,还有因数2,所以4是合数。)

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,一共有25个。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中的证明使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,N+1是素数或者不是素数。

如果N+1为素数,则N+1要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中。

如果N+1为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以N+1不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特·库默的证明更为简洁,Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。

任何一个大于1的自然数N,都可以唯一分解成有限个质数的乘积,这里P1<P2<...<Pn是质数,其诸方幂ai是正整数。

这样的分解称为N的标准分解式。

算术基本定理的内容由两部分构成:分解的存在性、分解的唯一性(即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的)。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环,欧几里得整环等等概念,更一般的还有戴德金理想分解定理。

上下素性判定法

命题 1对于B=36N+1 形数而言。

若不定方程(3N)^2+N-(B-1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)+1 是小因子数;6(3N+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N)^2-N-(B-1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)-1 是小因子数;6(3N+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 2对于B=36N+7 形数而言。

若不定方 (3N)^2+4N-(B-7)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(3N-W)+1 是小因子数,6(3N+W+1)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2+2N+2-(B+29)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(3N+2-W)-1 是小因子数,6(3N+W+3)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 3对于B=36N+13 形数而言。

若不定方程 (3N+1)^2+N-(B-13)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N+1-W)+1 是小因子数,6(3N+1+W)+1是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2-N-(B+23)/36=W2 有整数解,

则 6(3N+2-W)-1 是小因子数,6(3N+2+W)-1是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 4对于B=36N+19 形数而言。

若不定方程(3N+1)^2+4N+1-(B-19)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(3N+1-W)+1 是小因子数;6(3N+2+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2+2N+1-(B+17)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(3N+1-W)-1 是小因子数;6(3N+2+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 5对于B=36N+25 形数而言。

若不定方 (3N+2)^2+N-(B-25)/36=W^2有整数解,

则 6(3N+2-W)+1 是小因子数,6(3N+2+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2-N-(B+11)/36=W^2有整数解,

则 6(3N+1-W)-1 是小因子数,6(3N+1+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 6对于B=36N+31 形数而言。

若不定方程 (3N+2)^2+4N+2-(B-31)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(3N+2-W)+1 是小因子数,6(3N+3+W)+1是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2-4N-1-(B+5)/36=W^2+W有整数解,

则 6(3N-W)-1 是小因子数,6(3N+1+W)-1是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 7对于B=36N-1 形数而言。

若不定方程(3N)^2-N+(B+1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)+1 是小因子数;6(3N+W)-1 是大因子数。

若不定方程 (3N)^2+N+(B+1)/36=W^2 有整数解,

则 6(W-3N)-1 是小因子数;6(W+3N)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 8对于B=36N+5 形数而言。

若不定方 (3N)^2+2N+(B-5)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(W-3N)+1 是小因子数,6(W+3N+1)-1 是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2+4N+2+(B+31)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(W-3N-2)-1 是小因子数,6(W+3N+3)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 9对于B=36N+11 形数而言。

若不定方程 (3N+1)^2-N+(B-11)/36=W^2 有整数解,

则 6(W-3N-1)+1 是小因子数,6(W+3N+1)-1是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2+N+(B+25)/36=W2 有整数解,

则 6(W-3N-2)-1 是小因子数,6(W+3N+2)+1是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 10对于B=36N+17 形数而言。

若不定方程(3N+1)^2+2N+1+(B-17)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(W-3N-1)+1 是小因子数;6(W+3N+2)-1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2+4N+1+(B+19)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(W-3N-1)-1 是小因子数;6(W+3N+2)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 11对于B=36N+23 形数而言。

若不定方 (3N+2)^2-N+(B-23)/36=W^2有整数解,

则 6(W-3N-2)+1 是小因子数,6(W+3N+2)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2+N+(B+13)/36=W^2有整数解,

则 6(W-3N-1)-1 是小因子数,6(W+3N+1)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 12对于B=36N+29 形数而言。

若不定方程 (3N+2)^2+2N+2+(B-29)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(W-3N-2)+1 是小因子数,6(W+3N+3)-1是大因子数。

若不定方程 (3N)^2-4N+(B+7)/36=W^2+W有整数解,

则 6(W-3N)-1 是小因子数,6(W+3N+1)+1是大因子数。

两式都无解,是素数。

关于哥德巴赫猜想(Su Bin):设(2+Na)*(2+Nb)=x经过推导得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1)

所以x≥4,且x≠5.所以x≥6.

左边为合数,右边是两个数的和。



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