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子空间

子空间有多个意义,出现在不同领域。在数学上,子空间指的是维度小于全空间的部分空间。所谓空间,所指为带有一些特定性质的集合,是故子空间可以算是子集合。在科幻上,比如在星际旅行中的设定,是一种具有特殊性质的额外连续体,有别于寻常的(3+1)维时空连续体。这样的设定原先用意是想回避爱因斯坦所提相对论中的光速限制。 

宇宙空间中子空间的概念

在宇宙大空间中,子空间是指有许多同样存在的小空间,这些小空间是并存的,而在每个空间的边缘都有类似一种间隔的存在,它们的作用就是把每个子空间隔开,但是这种间隔并不是层状的,它们像是空间一样有着自己的领域,但是这些领域中,存在于子空间的规则在这里却并没有效用,在这种间隔中光飞行的速度可以达到在子空间速度的亿倍以上。

线性代数中子空间的定义

设W为数域F上的n维线性空间V的子集合(即W∈V),若W中的元素满足

(1)若任意的α,β∈W,则α+β∈W;(对加法是封闭的)

(2)若任意的α∈W,λ∈F,则λα∈W。(对数乘也是封闭的)

(3)子空间中必须包含“0向量”

则容易证明:W也构成数域F上的线性空间。称W是线性空间V的一个线性子空间,简称子空间。

子空间指的是维度小于全空间的部分空间。所谓空间,所指为带有一些特定性质的集合,是故子空间可以算是子集合。

另见:

线性代数范畴之线性子空间或向量子空间

拓朴学范畴之子空间拓扑

线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合,P是一个域。若:

1.在V中定义了一种运算,称为加法,即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β,称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算,称为纯量乘法(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα,称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件:

1) α+β=β+α,对任意α,β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ,对任意α,β,γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V,对一切α∈V有α+0=α,元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V,都存在β∈V使α+β=0,β称为α的负元素,记为-α.

5) 对P中单位元1,有1α=α(α∈V).

6) 对任意k,l∈P,α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k,l∈P,α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P,α,β∈V有k(α+β)=kα+kβ,

则称V为域P上的一个线性空间,或向量空间。V中元素称为向量,V的零元称为零向量,P称为线性空间的基域.当P是实数域时,V称为实线性空间.当P是复数域时,V称为复线性空间。例如,若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合,P为实数域R,则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如,若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P),V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法,则Mmn(P)是数域P上的线性空间.V中向量就是m×n矩阵。再如,域P上所有n元向量(a1,a2,…,an)构成的集合P对于加法:(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)与纯量乘法:λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)构成域P上的线性空间,称为域P上n元向量空间。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量,代数学中的n元向量、矩阵、多项式,分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念,近代数学中不少的研究对象,如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton,W.R.)首先引进向量一词,并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼(Grassmann,H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年,他与柯西(Cauchy,A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz,O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。 

子空间是指一类拓扑空间。设(X,T)是拓扑空间,若Y是X的非空子集,则族:

U={U|U=G∩Y,G∈T}

是Y上的拓扑,称U是T在Y上的相对拓扑。拓扑空间(Y,U)称为(X,T)的子空间。

子空间,比如在星际旅行中的设定,是一种具有特殊性质的额外连续体,有别于寻常的(3+1)维时空连续体。这样的设定原先用意是想回避爱因斯坦所提相对论中的光速限制。

航天器如星舰利用曲速线圈(warp coil)产生子空间场(subspace field),当其呈现不对称蠕动形式并达到一定场强之后,会成为曲速场(warp field)。此时航行器会处在曲速泡(warp bubble)中而超光速的星际旅行可以达成,回避了物理上的光速限制。在星际奇旅设定中,透过子空间传达无线电频讯息(radio)则能以极高的超光速速度(曲速9.9997级=光速的198696倍)传递讯息;假设彼此距离不是极远,则近乎即时的星际通讯可以达成。但在广大的宇宙空间中,往往需要设置子空间讯息中继站(subspace raio relay)来加强讯号与加速传递。

子空间的另外主要用途是拿来减少惯性质量,出现在星际旅行第二代系列—星际旅行:下一代第三季电视系列剧“Déjà Q”中,用以减轻卫星惯性质量,使其容易被推动以改变轨道高度,避免逐渐下坠最后撞上行星而造成灾难。 

某数域F上的所有n阶矩阵的集合对于通常的矩阵加法与数乘运算,构成数域F上的线性空间。数域F上的所有n阶对称矩阵的集合在同样运算下也构成数域F上的线性空间。而后者作为集合石前者的子集。我们把后一个线性空间称为前一个线性空间的子空间。



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