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常数变易法

常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。它是拉格朗日十一年的研究成果,我们所用仅是他的结论,并无过程。

常数变易法是个特殊的变量代换法。

对于一阶线性微分方程

求解

对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”,因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分。所以我们的思维就集中在如何将(1)式的

直接分离:

从中看出

不妨设

这时u又不能单独除到左边来,所以还是宣告失败。

不过,这里给我们一点启示:如果某一项的变量分离不出来,那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了。比如说对于(3)式,如果

进一步:变量代换法

如果利用分离变量法来求

而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来:

=

这个方法看上去增加了复杂度,实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法叫“变量代换法”,即用

再进一步:常数变易法

再进一步观察我们可以看出,求

注意这里的

把(8)式和上面提到的(7)式比较一下:

(7)式是最终的结论,(8)式是我们可以到达的地方。把(8)式的那个



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