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2018年高中数学第9课时空间中直线与直线之间的位置关系综合刷题增分练新人教A版必修2

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第 9 课时 空间中直线与直线之间的位置关系 课时目标 1.知道异面直线的定义、异面直线所成的角的定义. 2.会表述空间两条直线的位置关系,并会用符号或图形把它们正确地表示出来. 3.会运用公理 4 和等角定理解决一些简单问题. 识记强化 1.我们把不同在任何一个*面内的两条直线叫做异面直线. 2.空间两条直线的位置关系有且只有三种: ?相交直线:同一*面内,有且只有一个公共点; ?共面直线? ? ?*行直线:同一*面内,没有公共点; ? ? ?异面直线:不同在任何一个*面内,没有公共点. 3.公理 4:*行于同一条直线的两条直线互相*行.公理 4 表述的性质通常叫做空间 *行线的传递性,作用是判断空间两条直线*行的依据. 4.定理:空间中如果两个角的两边分别对应*行,那么这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角: 已知两条异面直线 a,b, 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a, b′ ∥b, 我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 如果两 条异面直线所成的角是直角, 那么我们就说这两条直线互相垂直. 两条互相垂直的异面直线 a,b,记作 a⊥b. 课时作业 一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 1.垂直于同一条直线的两条直线( ) A.*行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 答案:D 解析:如图所示,当 a⊥l,b⊥l 时,有如下情形: 故选 D. 2.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则 AC 与 A1C1 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.*行 D.以上均有可能 答案:D 解析:如图所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,由图可知 AC 与 A1C1 可能*行、相交或异 面,故选 D. 1 3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC= 3,AA1= 2,则异面直线 AC1 与 BB1 所成的 角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案:C 解析:如图,因为 BB1∥AA1,所以∠A1AC1 即为异面直线 AC1 与 BB1 所成的角.因为 tan 2 2 A1C1 ? 3? +? 3? ∠A1AC1= = = 3,所以∠A1AC1=60°,故选 C. AA1 2 4.E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 四边的中点,则 EG 与 FH 的位置关系是( ) A.异面 B.*行 C.相交 D.重合 答案:C 解析:由题意画出图后,易得 EG,FH 是*行四边形 EFGH 的对角线. 5.给出下列两个关于异面直线的命题: 命题(1):若*面 α 内的直线 a 与*面 β 内的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与 β 的交线,那么 c 至多与 a,b 中的一条相交; 命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么( ) A.命题(1)正确,命题(2)不正确 B.命题(2)正确,命题(1)不正确 C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确 答案:D 解析:如图所示,当 c 与 a,b 都相交,但交点不是同一个点时,*面 α 内的直线 a 与*面 β 内的直线 b 为异面直线,因此命题(1)不正确;(2)可以取无穷多个*行*面,在 每个*面内取一条直线,且使这些直线两两不*行,则这些直线中任意两条都是异面直线, 因此命题(2)不正确.故答案为 D. 6.如图,在四面体 A-BCD 中,M,N,P,Q,E 分别是 AB,BC,CD,AD,AC 的中点, 则下列说法中不正确的是( ) A.M,N,P,Q 四点共面 B.∠QME=∠CBD 2 C.△BCD∽△MEQ D.四边形 MNPQ 为梯形 答案:D 解析:由中位线定理,易知 MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于 A,有 MQ∥NP,所 以 M,N,P,Q 四点共面,故 A 说法正确;对于 B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故 B 说法正确;对于 C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故 1 1 C 说法正确.由三角形的中位线定理,知 MQ 綊 BD,NP 綊 BD,所以 MQ 綊 NP,所以四边形 2 2 MNPQ 为*行四边形,故 D 说法不正确. 二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 7.a? α ,b? β ,α ∥β ,则 a 与 b 的位置关系是________. 答案:*行或异面 解析:如图: 8.已知 AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR 等于__________. 答案:30°或 150° 解析:根据空间中如果两个角的两边分别对应*行,那么这两个角相等或互补. 9.如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是 异面直线的图形有________. 答案:②④ 解析:①中 GH∥MN;②中∵N∈*面 HG,且 M?*面 HG,∴MN 与 GH 异面;③中易证得 HG 与 MN 交于一点;同②理,④中 GH 与 MN 异面. 三、解答题 10.(12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,G,H 分别为 PB,PC 的中点,M,N 分别为△PAB, △PAC 的重心,且△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=90°.求证:GH∥MN. 证明:如图,取 PA 的中点 Q,连接 BQ,CQ,则 M,N 分别在 BQ,CQ 上. 因为 M,N 分别为△PAB,△PAC 的重心, 3 QM QN 1 所以 = = ,则 MN∥BC. MB CN 2 又 G,H 分别为 PB,PC 的中点,所以 GH∥BC,所以 GH∥MN. 11.(13 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求: (1)AA1 与 C1D1 所成的角; (2)AA1 与 B1C 所成的角; (3)A1B 与 B1C 所成的角. 解:(1)∵AA1∥DD1,∴



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