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数学(理科)卷.2011届山东省烟台市高考模拟试卷

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归海木心

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数学(理科) 届山东省烟台市高考模拟试卷 高考模拟试卷数学(理) 数学(理科)卷.2011 届山东省烟台市高考模拟试卷
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字迹工整,笔迹 清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知 R 是实数集, M = {x |

2 <1}, N = { y | y = x ? 1} ,则 N ∩ CR M = x A.(1,2) B. [0,2] C. ? D. [1,2] 1 1 2.幂函数 y=f(x)的图象经过点(4, ) ,则 f( )的值为 2 4
A.1 B.2 C.3 D.4

3.在*行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, AB = (2, 4), AC = (1, 3), 则BD = A.(2,4) B.(3,5) C.(—3,—5) D.(—2,—4)

uuu v

uuuv

uuu r

4.如图,水*放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形, 俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的左视图面积为 A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D.4 5.设 a,b 为两条直线, α , β 为两个*面,则下列结论成立的是 A. 若

a ? α,b ? β ,



a∥b, 则α∥β

B.



a ? α , b ? β , 且a ⊥ b, 则α ⊥ β

C.若 a∥α , b ? α , 则a∥b 6.等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 = A.1 B. ?

D.若 a ⊥ α , b ⊥ α , 则a∥b



7.函数 y=ln(1-x)的图象大致为

1 2

4 xdx ,则公比 q 的值为 1 1 C.1 或 ? D. ?1 或 ? 2 2
0

3

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x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 = 1 的一个焦点与抛物线 y 2 = 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则 a b
该双曲线的方程为 A. 5 x ?
2

4 y2 =1 5

B.

x2 y 2 ? =1 5 4

C.

y 2 x2 ? =1 5 4

D. 5 x ?
2

5y2 =1 4

x +1 在点(3,2)处的切线与直线 ax + y + 1 = 0 垂直,则 a = x ?1 1 1 A.2 B. ?2 C. ? D. 2 2 π |< ) 的部分图象如图所示,则 ω , ? 的值分别为 10.函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A>0,ω>0,|? 2 π π π C.2,D.2, A.2,0 B.2, 4 3 6
9.设曲线 y = 11.设 a1 , a2 ,L , a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若

a1 + a2 + L + a50 = 9, 且(a1 + 1) 2 + ( a 2 + 1)2 + L + ( a50 + 1)2 = 107 , 则
a1 , a2 ,L , a50 中数字 0 的个数为
A.11 B.12 C.13 D.14

12.设函数 y = f ( x )在( ?∞, +∞) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数:

f K ( x) =
减的是 A. ( ?∞,0)

? f ( x ), f ( x )≤K , 1 取函数 f ( x ) = a ?|x| ( a>1).当K = 时, 函数 f K ( x ) 在下列区间上单调递 ? a ? K , f ( x )>K .

B. ( ? a, +∞ )

C. ( ?∞, ?1)

D. (1, +∞ )

二、填空题.本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13.若 sin( π + α ) =

1 π , α ∈ ( ? , 0), 则tanα = 2 2

14.在等腰直角三角形 ABC 中,D 是斜边 BC 的中点,如果 AB 的长为 2,则 ( AB + AC ) ? AD 的值为

uuu r

uuur uuur

? x ? y≥0 ? 15.设变量 x,y 满足约束条件 ? x + y≤1, 则目标函数 z = 5 x + y 的最大值为 ? x + 2 y≥1 ?
16.椭圆

x2 y 2 + = 1(a>b>0) 的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2 作倾斜角为 120° 的直线与椭圆的一 a 2 b2
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个交点为 M,若 MF1 垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为
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三、解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 m = ( a + c, b), n = ( a ? c, b ? a ), 且m ? n = 0 ,其中 A,B,C 是△ ABC 的内角,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A + sin B 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 bn=2-2Sn;数列{an}为等差数列,且 a5=14, a7=20. (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn = an ? bn ( n =1,2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和.求 Tn .

19. 本小题满分 12 分) ( 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中, ∥BC , ∠ABC = 90° , ⊥ AD PA *面 ABCD, PA = 3, AD = 2, AB = 2 3, BC = 6. (1)求证: BD ⊥ *面 PAC; (2)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

20.(本小题满分 12 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且 每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管 费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x ); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

21.(本小题满分 12 分)如图,*面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|=2,P 为该*面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且 ( PF + PQ ) ? ( PF ? PQ ) = 0. (1)试建立适当的*面直角坐标系,求动点 P 的轨迹 C 的方程;

uuu uuu r r

uuu uuu r r

uuu r uuu uuu r r uuu r NA = λ1 AF , NB = λ2 BF , 求证 : λ1 + λ2 为定值.

(2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 N,已知

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22.(本小题满分 14 分)已知 f ( x ) = x ln x, g ( x ) = ? x 2 + ax ? 3. (1)求函数 f ( x )在[t , t + 2](t>0) 上的最小值; (2)对一切 x ∈ (0, +∞ ), 2 f ( x )≥g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ∈ (0, +∞ ) ,都有 ln x>

1 2 ? 成立. e x ex

高三数学(理)参考答案及评分标准
一、BBCAD 二、13. ? CCDBD AD 4 15. 5 16. 2 ? 3

3 3

14.

三、17.解: (1)由 m ? n = 0 得 ( a + c )( a ? c ) + b(b ? a ) = 0 ? a 2 + b 2 ? c 2 = ab …………2 分 由余弦定理得 cos C =

a2 + b2 ? c2 ab 1 = = 2ab 2ab 2
∴C =

…………………………………………4 分

Q0 < C < π
(2)Q C =

π 3

…………………………………………………………6 分

π 3

∴A+ B =

2π 3

∴ sin A + sin B = sin A + sin(

2π 2π 2π ? A) = sin A + sin cos A ? cos sin A 3 3 3

3 3 3 1 = sin A + cos A = 3( sin A + cos A) 2 2 2 2

π = 3 sin( A + ) 6 Q0 < A <
2π 3

………………………………………………………9 分

π π 5π ∴ < A+ < 6 6 6
∴ 3 π < 3 sin( A + ) ≤ 3 2 6

1 π ∴ < sin( A + ) ≤ 1 2 6


3 < sin A + sin B ≤ 3 . ………………………………………………………………12 分 2 2 3

18.解: (1)由 bn = 2 ? 2 S n ,令 n = 1 ,则 b1 = 2 ? 2 S1 ,又 S1 = b1 所以 b1 = ………………………………………………………………………2 分

当 n ≥ 2 时,由 bn = 2 ? 2 S n ,可得 bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn 即

bn 1 = bn ?1 3

………………………………………………………………………………4 分

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所以 {bn } 是以 b1 = 于是 bn = 2 ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列, 3 3

1 3n

…………………………………………………………………………6 分

(2)数列 {an } 为等差数列,公差 d = 从而 cn = an ? bn = 2(3n ? 1) ?

1 (a7 ? a5 ) = 3 ,可得 an = 3n ? 1 2

…………7 分

1 3n

1 1 1? ? 1 ∴Tn = 2 ? 2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + L + (3n ? 1) ? n ? , 3 3 3 ? ? 3 1 1 1 1 ? ? 1 Tn = 2 ? 2 ? 2 + 5 ? 3 + L + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ? 3 3 3 3 ? ? 3 2 1 1 1 1 ? ? 1 ∴ Tn = 2 ? 2 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + L + 3 ? n ? (3n ? 1) n +1 ? 3 3 3 3 3 ? ? 3 Tn = 7 1 3n ? 1 ? ? n . n?2 2 2?3 3
……………………11 分

………………………………………………………………12 分

19.解: (1)如图,建立坐标系,

uuu r uuur uuu r ∴ AP = (0, 0, 3), AC = (2 3, 6, 0), BD = (?2 3, 2, 0) , …………………………………2 分 uuu uuu r r uuu uuur r ∴ BD ? AP = 0, BD ? AC = 0. ∴ BD ⊥ AP, BD ⊥ AC ,
又 PA I AC = A ,

则 A(0, 0, 0), B (2 3, 0, 0), C (2 3, 6, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 3) ,

∴ BD ⊥ 面PAC .

…………………………………………6 分

(2)设*面 ABD 的法向量为 m = (0, 0,1) , 设*面 PBD 的法向量为 n = ( x, y , z ) , 则 n ? BD = 0, n ? BP = 0

uuu r

uuu r

uuu r Q BP = (?2 3, 0,3)

…………………8 分

? y = 3x ? ?2 3 x + 2 y = 0 ? ? ∴? 解得, ? 2 3 x ? ?2 3 x + 3 z = 0 ?z = ? 3 ?
令 x = 3 ,则 n = ( 3,3, 2) …………………………………………………………10 分

∴ cos <m, n > =

m?n 1 = |m|n | 2

∴ 二面角 P ? BD ? A 的大小为 60o . ………………12 分

20.解: (1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分 由题意 f ( x ) =

36 批,每批价值为 20 x 元, x

36 ? 4 + k ? 20 x ………………………………………………4 分 x 16 1 由 x = 4 时, y = 52 得 k = = ………………………………………………6 分 80 5 144 ∴ f ( x) = + 4 x (0 < x ≤ 36, x ∈ N* ) ……………………………………………8 分 x
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(2)由(1)知 f ( x ) =

144 + 4 x (0 < x ≤ 36, x ∈ N* ) x

∴ f ( x) ≥ 2
当且仅当

144 × 4 x = 48 (元) ……………………………………………………10 分 x

144 = 4x ,即 x = 6 时,上式等号成立. x

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. …………………………………………12 分 21.解: (1) 方法一: 如图, 以线段 FM 的中点为原点 O , 以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy .则, F (0,1) .…………2 分 设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则动点 Q 的坐标为 ( x, ?1)

uuu r uuu r PF = (? x,1 ? y ) , PQ = (0, ?1 ? y ) , ……………3 分 uuu uuu r r uuu uuu r r 由 ( PF + PQ ) · ( PF ? PQ ) = 0 ,得 x 2 = 4 y . ………5 分 uuu uuu uuu uuu r r r r uuu r uuu r 方法二:由 ( PF + PQ ) ? ( PF ? PQ ) = 0得, PQ = PF . ………2 分
所以,动点 P 的轨迹 C 是抛物线,以线段 FM 的中点 为原点 O ,以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy ,可得轨迹 C 的方程为:

x 2 = 4 y . …………………………………………………………………………5 分 (2)方法一:如图,设直线 AB 的方程为 y = kx + 1, A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , ………6 分 2 则 N ( ? , ?1) . ……………………………………………………………………………………7 分 k

? x 2 = 4 y, 联立方程组 ? 消去 y 得, ? y = kx + 1,
x 2 ? 4kx ? 4 = 0 , ? = ( ?4k ) 2 + 16 > 0 , ………………………………………………………8 分
故?

? x1 + x2 = 4k , ………………………………………………………………………………9 分 x1 ? x2 = ?4. ? uuu r uuu uuu r r uuu r 由 NA = λ1 AF , NB = λ2 BF 得, 2 2 x1 + = ?λ1 x1 , x2 + = ?λ2 x2 , ………………………………………………………………10 分 k k
2 2 , λ2 = ?1 ? kx1 kx2

整理得, λ1 = ?1 ?

λ1 + λ2 = ?2 ? (

2 1 1 2 x +x 2 4k + ) = ?2 ? · 1 2 = ?2 ? ? = 0 . …………………………12 分 k x1 x2 k x1 ? x2 k ?4

方法二:由已知 NA = λ1 AF , NB = λ2 BF ,得 λ1 ? λ2 < 0 . …………………………………7 分

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r NA λ 于是, uuu = ? 1 r λ2 NB

uuu r AF uuu , r BF

① ………………………………………………………8 分

如图,过 A 、 B 两点分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1 、 B1 ,

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uuu uuur uuur r NA AA1 AF 则有 uuu = uuur = uuu , r r NB BB1 BF

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② ………………………………………………………10 分

由①、②得 λ1 + λ2 = 0 . …………………………………………………………………………12 分 22.解: (1) f ′( x ) = ln x + 1 ,…………………………………………………………………1 分 当 x ∈ (0, ), f ′( x ) < 0, f ( x ) 单调递减,当 x ∈ ( , +∞ ), f ′( x ) > 0, f ( x ) 单调递增 ……2 分

1 e

1 e

1 ,没有最小值; ……………………………………………………………3 分 e 1 1 ② 0 < t < < t + 2 ,即 0 < t < 时, e e 1 1 f ( x) min = f ( ) = ? ; ………………………………………………………………4 分 e e 1 1 ③ ≤ t < t + 2 ,即 t ≥ 时, f ( x)在 [t , t + 2] 上单调递增, f ( x) min = f (t ) = t ln t ;………5 分 e e
①0 < t < t + 2 <

所以 f ( x) min

1 ? 1 ?? e , 0 < t < e . ? =? ?t ln t , t ≥ 1 ? e ?
2

…………………………………………………………………6 分

(2) 2 x ln x ≥ ? x + ax ? 3 ,则 a ≤ 2 ln x + x +

3 ,……………………………………………7 分 x 3 ( x + 3)( x ? 1) 设 h( x) = 2 ln x + x + ( x > 0) ,则 h′( x) = , x x2 ① x ∈ (0,1), h′( x) < 0, h( x) 单调递减, ② x ∈ (1, +∞ ), h′( x) > 0, h( x) 单调递增,

所以 h( x) min = h(1) = 4 ,对一切 x ∈ (0, +∞ ), 2 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,所以 a ≤ h( x) min = 4 ; …………………………………………………………………10 分 (3)问题等价于证明 x ln x >

x 2 ? ( x ∈ (0, +∞)) , ………………………………………11 分 ex e 1 1 由(1)可知 f ( x) = x ln x( x ∈ (0, +∞ )) 的最小值是 ? ,当且仅当 x = 时取到, e e x 2 1? x 设 m( x) = x ? ( x ∈ (0, +∞ )) ,则 m′( x) = x ,易知 e e e 1 m( x ) max = m(1) = ? ,当且仅当 x = 1 时取到, ………………………………………………13 分 e 1 2 从而对一切 x ∈ (0, +∞ ) ,都有 ln x > x ? 成立 ………………………………………14 分 e ex

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