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Π-定理

Π-定理,即量纲分析基本原理,是量纲分析法的理论基础。这个定理由Backingham在1914年提出。到了1922年,R.W.Bridgman把这个定理称为Π定理, 这是因为π这个符号是由Buckingham在定理的推导和证明中用来表示无量纲量的缘故。  关于量纲的应用,除了一般的介绍单位的换算、检查公式的对错等少数方面,但量纲分析法有是量纲分析的理论核心。

由于各物理量之间存在规律性的联系,我们不必对每个物理量的单位都独立地予以规定。我们可以选取一些物理量作为“基本量”,并且为每个基本量规定一个“基本量度单位”,其他物理量的量度单位则可以按照它们与基本量之间的关系式(定义或定律)导出,这些物理量称为“导出量”,它们的单位称为“导出单位”。按照此种方法构成的一套单位,构成一定的“单位制”。在不同的单位制中,不仅基本量的选取可以不同,基本量的数目也可以不同。例如,CGS单位制中有三个基本量,MKSA单位制中有四个基本量。

在选定了单位制之后,导出量的量度单位就可以由基本量度单位表达出来,这种表达式称为该导出量的“量纲式”,设

量纲可以看成是某个“矢量空间”中的“矢量”。于是,对

这里,若我们把

量纲分析法的理论基础是Π-定理,这个定理是E.Buckingham  在1914年提出的:

设某个物理问题涉及

可相应表达为无量纲形式:

(在m=

写成分量形式,用矩阵表示,则有:

由于等式左端方阵的行列式不等于零,故对每个

我们设想把

函数式

对于上述的特殊选择,有

Π定理可以表示为另一等价形式,这一形式在很多场合更便于使用。在一定问题中物体系的发展和演化往往由若干个变量决定,不妨叫做“主定参量”在上面的推演中,

Π-定理有许多应用,给出两个例子。

设想两块无限大平面壁相距

利用Π-定理解答是。除了距离

可以解出

这个著名的定理,又称毕达哥拉斯定理,也可以用量纲法来证明。

一个直角三角形的面积可由它的一边(譬如斜边

这便是勾股定理



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